<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          7 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 7 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2009
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
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          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 7 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08017-1 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08018-8 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
 Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00908           CDD-372`.7
<P>
<P>
<R+>
<F->
                            III
Sumrio

Terceira Parte

Unidade 3

ngulos, circunferncias e 
  crculos ::::::::::::::::: 201
1 -- ngulos ::::::::::::: 202
Regio angular :::::::::::: 204
2 -- Classificao 
  de ngulos ::::::::::::::: 208
3 -- Unidades de medida 
  de ngulos ::::::::::::::: 214
Grau :::::::::::::::::::::: 214
Medindo ngulos ::::::::::: 214
Submltiplos do grau :::::: 229
Mudanas de unidades de um 
  ngulo ::::::::::::::::::: 231
4 -- Operaes com graus, 
  minutos e segundos ::::::: 236
Adio e subtrao :::::::: 243
Multiplicao e diviso ::: 247
Unidades de tempo: uma 
  unidade com agrupamentos 
  de 60 em 60 :::::::::::: 250 
<P>
5 -- Aprendendo mais sobre 
  ngulos :::::::::::::::::: 250 
ngulos congruentes ::::::: 252
Retas perpendiculares ::::: 259
Bissetriz de um ngulo :::: 264
6 -- Circunferncia e
   crculo ::::::::::::::::: 264
Circunferncias ::::::::::: 264
Crculos :::::::::::::::::: 269
Arco, ngulo central e 
  setor circular ::::::::::: 276
7 -- Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 279
Grfico de setores :::::::: 279
Construo de grficos de 
  setores :::::::::::::::::: 287
Leitura + (mais) :::::::: 295
Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 297
<F+>
<R->

<70>
<ti. d. mat. 7 ano>
<T+201>
 Unidade 3

 ngulos, circunferncias e 
  crculos 

<R+>
_`[{trs fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: O contorno da praa sugere uma circunferncia. O contorno e a regio gramada nos do a ideia de crculo.
 Legenda 2: O GPS (*Global Positioning System*) opera com 24 satlites que orbitam ao redor da Terra. Sua funo  localizar quatro ou mais satlites, determinar a distncia para cada um deles e transformar essa informao em coordenadas.   
 Legenda 3: A bssola, inventada pelos chineses no sculo X, possui uma agulha magntica que aponta sempre para o norte.
<R->

<71>
  Usando ngulos e suas medidas, navegadores, aviadores e motoristas calculam distncias, localizam pontos de referncia e definem rumos.
  Nesta unidade, vamos aprender a medir ngulos, operar com as unidades de medida e estudar as principais caractersticas de circunferncias e crculos.
<R+>
  Observe sua sala de aula e descubra nela figuras que lembrem ngulos.
  Entre os utenslios domsticos que voc conhece, identifique dois que tenham alguma parte circular.
<R->

<72>
 1 -- ngulos

  Os ngulos so utilizados em muitas situaes do dia a dia das pessoas.

<R+>
_`[{duas fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Topgrafos medem distncias e ngulos para fazer as representaes planas de terrenos.
<P>
 Legenda 2: Os telhados so projetados para possibilitar o escoamento das guas das chuvas, sem comprometer a harmonia das construes. 
<R->

  A figura a seguir representa o ngulo :?{a{o{b*.

<F->
         A 
         o
        *
      * 
    *
O o
    ?
      ?
        ?
         oB
<F+>

<R+>
wr
  Que figuras geomtricas formam os lados deste ngulo?
  Que figura geomtrica  o vrtice de um ngulo? 
<R->

  As semirretas :,?{oA* e :,?{oB* so os lados do ngulo :?{a{o{b*. O ponto O  seu vrtice. 
  ngulo  toda figura geomtrica plana formada por duas semirretas com mesma origem. 

 Regio angular 

<R+>
_`[{para esta atividade, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Bia representou no cho o ngulo :?{m{o{n*.

<F->
    M
::::o:::::oO
          i
        i
      oN
    i
  i
<F+>

_`[{bia diz_`]
  "Chico, de onde voc est, pode vir at aqui sem cruzar nenhum dos lados deste ngulo."
<P>
_`[{chico diz_`]
  "Isso  impossvel, Bia!"; ele pensa: ":,?{oM* e :,?{oN* no tm fim; elas podem ser prolongadas!"

<R+>
wr
  Voc concorda com Chico? D sua opinio.
<R->

<73>
  Vamos representar o lugar em que Chico est pelo ponto C e o lugar onde Bia se encontra pelo ponto B. Chico tem razo. Caminhando,  impossvel passar do ponto C para o ponto B, no plano do ngulo :?{m{o{n*, sem cruzar um de seus lados. O ngulo :?{m{o{n* divide o plano que o contm em duas regies: 
  a pintada de azul; 
  a pintada de amarelo.
  A regio que est pintada de azul na figura  uma regio cncava; a regio pintada de amarelo  uma regio convexa. Essas regies tm caractersticas diferentes. 
<P>
<R+>
  Os pontos C e E esto na regio cncava. Se andarmos em linha reta do ponto C ao ponto E, cruzaremos os lados de :?{m{oN*. O mesmo ocorre com dois pontos quaisquer que estejam nessas regies. 
  Os pontos B e F esto na regio convexa. Se andarmos em linha reta do ponto F ao ponto B, no cruzaremos os lados de :?{m{oN*. 

 wr
  A regio onde est Bia  cncava ou convexa?
<R->
 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades 1, 2, 4 e 5, pea orientao ao professor_`]

 1. Em cada desenho _`[no adaptado_`] identifique todos os ngulos, usando os pontos assinalados. Identifique tambm os lados e o vrtice de cada um deles e anote-os. 
 2. Copie a figura _`[no adaptada_`] em uma folha de papel quadriculada e pinte de vermelho a regio angular :?{c{eL*.
 3. Identifique e anote os ngulos deste paralelogramo {a{b{c{d. 

<F->
      A       D
      *cccccccco      
    *        *
  *        *
}--------*
B       C
<F+>

 4. Identifique e anote os ngulos das faces triangulares deste prisma _`[no adaptado_`]. 
 5. Na figura _`[no adaptada_`], :?{b{aC* tem vrtice no ponto A5,#b. Quais so as loca-
<P>
  lizaes dos pontos B e C por onde passam os lados de :?{b{aC*?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<74>
 2 -- Classificao de ngulos

  Observe os ngulos formados pelos ponteiros destes relgios.

_`[{trs figuras adaptadas_`]
<F-> 
A) ?
      ?
       ?   
        ?
         ?
          ,::::::::::o
B) !
     l
     l
     l
     l
     l
     h:::::::::::o
<P>
C)      *
       *
     *
   *
 *
j:::::::::::::o  
<F+>

<R+>
 wr
  Qual deles sugere ngulo reto? Qual  a medida desse ngulo? 
  Qual deles tem medida maior que 90? 
  Qual deles tem medida menor que 90?
<R->
 
  Classificamos um ngulo observando sua medida e comparando-a com a medida do ngulo reto:
<P>
<R+>
<F->
Angulo obtuso: medida maior que 90.

?        k
  ?      k
    ?    k   
      ?  k
        ?k
         ccccccccc

ngulo reto: medida igual a 90.

l
l
l
l
l
l
h::::::::::::
<P>
ngulo agudo: medida menor que 90.
       
  k        *
  k      *
  k    *
  k  *
  k*
  h::::::::::::o 
<F+>
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 6, 8 e 9, pea orientao ao professor_`]

 6. Agudos, retos ou obtusos? Identifique cada um destes ngulos.

_`[{figuras no adaptadas_`]
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Use um canto reto de uma folha de papel ou um transferidor." 

<R+>
 7. Um ngulo tem medida menor que 90. Como se classifica esse ngulo?

<75>
 8. Esta figura _`[no adaptada_`] apresenta vrios ngulos.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  ":?{o{lA*  um dos ngulos desta figura."

<R+>
 a) Identifique um ngulo agudo.
 b) Identifique um ngulo reto.
 c) Identifique um ngulo obtuso. 

 9. Desenhe um ngulo {a{b{c em um sistema de coordenadas de modo que ele seja o ngulo reto e que o ponto seja B-4,-#b. Destaque um ponto em cada lado do ngulo que voc desenhou e apresente sua localizao.
<R->
<P>
 Seo + (mais)

 ngulos e comunicao 

_`[{figura no adaptada_`]

  O grupo de pessoas que se encontra no barco est comunicando alguma coisa, por meio de sinais, s pessoas que esto em uma lancha prxima. 
  Os sinais dizem *storm*, palavra inglesa que significa "tempestade".
 
<R+>
  Os ngulos agudos so formados pelos sinais que correspondem a quais letras? 
  E os ngulos obtusos? E o ngulo raso? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

 3 -- Unidades de medida de 
  ngulos

 Grau
 
  Existem algumas unidades com as quais medimos um ngulo. Uma das mais usadas  o grau. 
  Observe a circunferncia _`[no adaptada_`]. Ela est dividida em 360 partes iguais ou 360 arcos iguais. 
  Um ngulo cujo vrtice coincide com o centro dessa circunferncia e cujos lados passam pelas extremidades de um desses arcos  um ngulo de 1 grau. Sua medida  indicada por 1. 

 Medindo ngulos

  O transferidor  um dos instrumentos que podemos usar para medir ngulos. Ele  marcado em graus.
  Observe os ngulos :?{m{oN* e :?{x{yZ*.
<P>
<F->
            *
        Mo
        *
      *
    *
O j::::::::o:::::o
            N

                     i
                   i
                  oZ
                i
              i
:::o:::::::i 
   X       Y
<F+>

<R+>
 wr
  Qual deles  obtuso? 
  Faa uma estimativa das medidas desses ngulos.
<R-> 

  Vamos verificar, usando um transferidor, se sua estimativa foi razovel. 
  Medimos ngulos, observando suas regies angulares.

<77>
 Medindo o ngulo :?{m{oN*. 

  Coloque a marca central do transferidor sobre o ponto O, que  o vrtice de :?{m{oN*. 
  Um dos lados de :?{m{oN* deve passar pela marca zero grau, que est  direita.
  O outro lado, que  :,?{oM*, passa pela marca 35 graus, na graduao interna: o ngulo :?{m{oN* mede 35 graus. 
  Indicamos: med :?{m{oN*=35 ou med :{o=35. 

 Medindo o ngulo :?{x{yZ*.

  Colocamos o transferidor de modo que :,?{yX* passe pela marca zero grau, que est  esquerda. 
  Neste caso, usamos a graduao externa do tranferidor. O lado :,?{yZ* passa pela marca 125 
<P>
 graus. Ento, o ngulo :?{x{yZ* mede 125 graus.
  Indicamos: med :?{x{yZ*=125 ou med :Y=125.

<R+>
 Desenhando um ngulo :?{a{oB* com 80.
<R->

  Traamos um dos lados do ngulo, por exemplo :,?{oA*. Colocamos a marca central do transferidor sobre o ponto O. 
  Marcamos o ponto B correspondente a 80} na graduao interna. 
  Retiramos o transferidor e traamos o lado :,?{oB*. 

<F->
o::::::::::::o:::o
O             A
<P>
         
        
     Bo
      
     
    
O o::::::::::::o::o
              A
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Observe agora os ngulos :?{a{oA* e :?{a{oB*: 

<R+>
 Neste ngulo, os seus lados coincidem:  um ngulo nulo. 
  
<F->
o::::::::o::
O        A
<F+>
 
 med :?{a{oA*=0

 Neste ngulo, os seus lados so semirretas opostas:  um ngulo raso. 

<F->
::o:::::o:::::o::
  A     O     B
<F+>

 med :?{a{oB*=180
<R->

<78>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades de 10 a 15, pea orientao ao professor_`]

 10. Observe cada um destes ngulos:

<F->
::o:::::o:::::o::
  M     O     N

o::::::::o::
E        F
<P>
 ?
  ?
Do
    ?   
     ?
      ?
       ?-------o--
       E      F

  P       A
  o:::::::o
  l
  l
  l
Bo
  l
  l

              
             
Go          
           
          oH
         
        
       
       I
<F+>

 a) Faa uma tabela como esta e complete-a.

_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: ngulo
 2 coluna: Estimativa
 3 coluna: Medida
 4 coluna: Classificao

<F->
!::::::::::::::::
l 1_ 2_ 3_ 4_
r::::w::::w::::w::::w
l ..._ ..._ ..._ ..._
h::::j::::j::::j::::j
<F+>
 
 b) Faa uma estimativa das medidas de cada ngulo.
 c) Usando um transferidor, mea cada ngulo e verifique se sua estimativa foi razovel.
 d) Em seguida, preencha a ltima coluna da sua tabela anotando: reto, agudo, obtuso, raso ou nulo.
<P>
 11. Utilize um transferidor para determinar as medidas dos ngulos _`[no adaptados_`] e anote-as.

 12. Utilize um transferidor e desenhe ngulos com as medidas indicadas: 
 a) med :?{x{oY*=50 
 b) med :?{a{bC*=85 
 c) med :?{m{pN*=116 

 13. Um velejador ia na direo leste-oeste quando avistou trs moas em uma ilhota pedindo socorro. Quantos graus ele precisou girar o barco para ir em direo s moas? 
<P>
_`[{figura adaptada_`]
<F->
oeste   A        barco
:::::::o:::::::oB
                 i
               i
             oC
            i
          i
        i
    ilha  
<F+>

 14. Na figura _`[no adaptada_`], os pontos A, B, C, D, E e O esto no mesmo plano, e a medida do ngulo :?{a{oB*  25. Sabendo que: 
  med :?{a{oC*  duas vezes med :?{a{oB*; 
  med :?{c{oD*  igual a 20; 
  :?{c{oE*  um ngulo reto, determine as medidas de :?{b{oC*, :?{aoD* e :?{d{oE*, sem utilizar um transferidor.  
<P>
 15. Utilize um transferidor e desenhe um ngulo reto :?{b{oA*, pintando de amarelo sua regio angular. Nessa regio, desenhe uma semirreta :,?{o{x* que forme, com a semirreta :,?{o{a*, um ngulo cuja medida seja #,c da medida do ngulo :?{b{oA*.
 a) Qual  a medida de :?{b{oA*? 
 b) Qual  o valor de med ::{x{oA*? E de med :?{b{oX*?

<79>
 16. Para representar alguns giros, Roberto pegou dois canudos e prendeu suas pontas cuidadosamente com um percevejo. Ele manteve fixo um dos canudos e foi girando o outro.
<P>
_`[{figura adaptada_`]
<F->
     
    
   
  
 
o::::::::::
<F+>
          
 Que medida Roberto obteve para:
 a) um giro de #,d de volta?
 b) um giro de #,b volta?
 c) um giro de 1 volta?
 d) um giro de #,f de volta?
 e) um giro de #;c de volta?

 17. Utilize um transferidor e determine as medidas dos ngulos de cada um destes polgonos: 
<F->
a) A      D
    *ccccccco      
   *       *
  *       *
 *       *
-------*
B      C
<P>
b)      H           
         ie
       i    e
     i        e
   i            e
Ee               eG
    e            i
      e        i
        e    i
          ei
          F

c)  JpccccccccP
       l         e
       l          e
       l           e
       l            e
       l            iN
       l           i
       l         i
     Lv------ iM

<P>
d)          T
             i
           i   
         i      
       i         
     i            
   i               
R-----------------oS
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Troque ideias e resolva

  Combine com os colegas e traga para a sala de aula algumas caixas e embalagens que representem poliedros, como estes: 

<R+>
_`[{poliedros: pirmide de base hexagonal, prisma de base hexagonal, prisma de base tringular, prisma de base pentagonal, pirmide de base quadrada, paraleleppedo e cubo_`]
<P>
  Coloque as embalagens que voc trouxe sobre a carteira e, usando um transferidor, mea os ngulos dos diferentes polgonos que compem as faces desses poliedros.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Seo + (mais)

 Dando um jeitinho

  Diego atrapalhou-se um pouco com essa histria de ngulos, transferidor, medidas, mas conseguiu dar um jeitinho. Veja o que ele fez.
  Ele ajeitou o vrtice do ngulo na marca central do transferidor e girou-o at que o lado :,?{yZ* passasse pela marca de 20. Depois, deu uma olhada para ver por onde passava o lado :,?{yX*: 70. 

_`[{diego diz_`]
  "... E no  que deu certo?!"

<R+>
  Que medida Diego encontrou para o ngulo :?{x{yZ*?
<R->

<F->
      e
       e
        oZ
         e
          e
           e
::::::o:::oY
      X 
<F+>

<80>
 Submltiplos do grau 

  Atualmente, navios, avies, nibus e at mesmo automveis so dotados de instrumentos de orientao, como radares, GPS e rdio, que indicam o local em que se encontram e o rumo que esto seguindo. Esses instrumentos medem ngulos muito pequenos, utilizando 
<P>
 unidades menores que 1 grau: o minuto e o segundo, indicados, respectivamente, pelos smbolos `(`) e `(`). Essas unidades so os submltiplos do grau. 
  Para escrever a medida de um ngulo nas unidades minuto e segundo, usamos agrupamentos de 60 em 60. 
  Dividindo 1 grau em 60 partes iguais, cada parte corresponde a 1 minuto.

 1=#,fj.1} e 60=1 

  Dividindo 1 minuto em 60 partes iguais, cada parte corresponde a 1 segundo.

 1=#,fj.1 e 60=1

<R+>
wr
  Quantos segundos tem 1?
  Quantos segundos tem 1? Por qu? 
<R->
<P>
  Um grau  60 vezes um minuto, um minuto  60 vezes um segundo. Portanto, um grau  3.600 vezes um segundo. 

_`[{tabela adaptada_`]
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Grau _ Minutos _ Segundos _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::::w
 l  1  _   60   _  3.600 _
 h:::::::j::::::::::j:::::::::::j

 Mudanas de unidades de um ngulo 

  Na figura, os dois canudos formam um ngulo que mede 32. 

<F->
     
    
   
  
 
o::::::::::
<F+>

<R+>
 wr
 Quanto mede esse ngulo, em minutos?
<R->

  Como 1=60, para transformar 32 em minutos, multiplicamos 32 por 60.

 32=32.1=32.60=1.920. 
  Logo 32=1.920. 

  Os canudos da figura formam um ngulo de 1.920.

<81>
<R+>
wr
  Um avio estava voando na direo norte-sul quando o piloto fez um desvio de 2 7 30. De quantos segundos foi esse desvio? 
<R->

  Como 1=3.600 e 1=60, para expressar 2 7 30 em segundos, multiplicamos 2 por 3.600 e 7 por 60 e adicionamos os resultados obtidos.

 2 :> 23.600 :> 7.200
 7 :> 760 :> 420
 30 :> 30 :> 30 
<P>
  O desvio feito pelo piloto foi de 7.650.

 2 7 30=7.200+420+
  +30=7.650

<R+>
 wr
  Como expressar 5.680 em graus, minutos e segundos? 
<R->

  Para transformar em graus, minutos e segundos uma medida dada em segundos, fazemos o caminho inverso do problema anterior: dividimos a medida dada sucessivamente por 60. 

<R+>
 5.68060=94 minutos resto 40 segundos
 9460=1 grau resto 34 minutos
 5.680=1 34 40
<R->

  Expressamos como 1 34 40. 

<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 18. Os ponteiros de um relgio formavam um ngulo de 20. Aps certo tempo, eles passaram a formar um ngulo com 14 a mais que o anterior. Qual  a medida, em minutos, desse novo ngulo? 
 19. Um navio que ia na direo norte-sul fez uma mudana de rota de 36 29. Um marinheiro transformou essa medida em segundos. Que resultado ele obteve? 

 20. Calcule quantos minutos tm estas medidas: 
 a) 135 
 b) 93 28
 c) 127 45
 d) 27 39 
<P>
 21. Escreva estas medidas, em segundos: 
 a) 8 45
 b) 4 10 27

 22. Um avio decola e inicia a subida em um ngulo de 38.700. 
 a) Esse ngulo  menor ou maior que 10? 
 b) Quantos minutos a mais ou a menos que 10?

 23. Quais destas medidas so maiores que 90? 
 a) 100.000 
 b) 400.000 
 c) 5.400 38 
<R->

 Troque ideias e resolva

  Vamos checar como est o seu clculo mental?
<P>
<R+> 
 2 correspondem a 7.200. 
  20 correspondem a ....
  22 correspondem a ....
  10 correspondem a ....
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<82>
 4 -- Operaes com graus, 
  minutos e segundos

  J sabemos como efetuar clculos com nmeros no Sistema de Numerao Decimal, em que os agrupamentos so feitos de 10 em 10. Veremos que calculamos com graus, minutos e segundos de maneira semelhante, lembrando que os agrupamentos so de 60 em 60. 

 Adio e subtrao 

  Observe este tringulo _`[no adaptado_`].

_`[{o professor diz_`]
  "Um ngulo mede 76} 35 53 e outro mede 47} 54 38."

<R+>
 wr
  Qual  a soma dessas medidas?

 Adicionamos graus com graus, minutos com minutos e segundos com segundos.
<R->

<F->
 Graus Minutos Segundos
  76  35     53
+ 47  54     38
:::::::::::::::::::::::::
 123  89     91         
<F+>

  Em seguida, escrevemos a soma obtida agrupando e reagrupando de 60 em 60, comeando com os segundos. 
  Decompomos 91 em 60+31.
  Transformamos 60 em 1, adicionamos 1 a 89 e obtemos 90.
  Decompomos 90 em 60+30.
  Transformamos 60 em 1}, adicionamos 1} a 123} e obtemos 124}.
<P>
 76} 35 53+47} 54 38=
  =124} 30 31

  A soma das duas medidas  124} 30 31.
<83>
  Usando um teodolito, um topgrafo calculou 68} 54 37 como o ngulo de inclinao de uma rampa. 
  Medindo outra rampa, obteve um ngulo com 38} 16 29. 

<R+>
 wr
  Qual  a diferena entre essas medidas?

 Subtramos graus de graus, minutos de minutos e segundos de segundos. 
<R->

<F->
 Graus Minutos Segundos
  68  54     37
- 38  16     29
:::::::::::::::::::::::::
  30  38      8         
<F+>

 68 54 37-38 16 29=
  =30 38 8
<P>
  A diferena entre as duas medidas  30} 38 8. 
  Um barco estava navegando na direo norte-sul quando fez um desvio de 67} 48 30. 

<R+>
 wr
  Quanto falta para esse ngulo chegar a 105} 32 6? 
<R->

<F->
 Graus Minutos Segundos
 105  32      6
- 67  48     30
:::::::::::::::::::::::::
        ...      ...         
<F+>

  Como calcular 32-48? E 6-30? 
  Decompomos 105} em 104}+1}. 
  Transformamos 1} em 60, adicionamos 60 a 32 e obtemos 92.
  Decompomos 92 em 91+1. 
  Transformamos 1 em 60, adicionamos 60 a 6 e obtemos 66. 
<P>
  Em seguida, calculamos a diferena:

<F->
 Graus Minutos Segundos
 104  91     66
- 67  48     30
:::::::::::::::::::::::::
  37  43     36         
<F+>

 105 32 6-67 48 
  30=37 43 36 
 
  Faltam 37} 43 36 para formar um ngulo de 105} 32 6. 

<84>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 24. Um rob parado no ponto 0 est olhando em direo ao ponto A. Ele faz um giro da esquerda para a direita de 75} 32 e olha para C. A partir da, faz 
<P>
  outro giro da esquerda para a direita de 53} 49 e olha para o ponto B. Calcule a medida total do giro, representado pelo ngulo :?{a{oB*. 
 25. A soma das medidas de dois ngulos  90}. Um deles mede 48} 36. Qual  a medida do outro ngulo? 
 26. Qual  o valor da expresso: 29}+67} 28-95} 45 36? 
 27. Os ponteiros de um relgio formam um ngulo {b{a{c. Acrescentando-se 10} 45 29  medida desse ngulo, obtm-se outro, de 87} 37. Qual  a medida de :?{b{aC*? 
 28. Trs ngulos medem juntos 180}. Se o primeiro mede 47} 18 a mais que o segundo, e este mede 30} 12, qual  a medida dos outros dois ngulos? 
 29. Os ponteiros de um relgio formam um ngulo de 48} 56. Quanto falta para formar um de 62} 35? 
<P>
 30. Acrescentando 18} 15  medida de um ngulo, ainda ficam faltando 3} 45 para formar um ngulo reto. Qual  a medida desse ngulo?

 31. Imagine que um rob situado no ponto R-5,-#c e que se desloca sobre as linhas da malha quadriculada _`[no adaptada_`] obedece aos seguintes comandos: "ande 5 lados de quadrado para leste, gire #,d de volta  esquerda, ande 3 lados de quadrado para o norte, ande 2 lados de quadrado para o oeste e pare". 
 a) Copie em uma folha quadriculada a figura acima, desenhe a trajetria do rob e localize o ponto onde ele parou. 
 b) Quais comandos faro o rob chegar ao ponto M, a partir do ponto onde ele parou? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 Multiplicao e diviso 

  O professor deu uma informao sobre um ngulo. 

_`[{o professor diz_`]
  "A medida de um ngulo  o sxtuplo de 17} 18 30." 
 
<R+>
 wr
  Como obter a medida desse ngulo?
  Qual  a medida desse ngulo?

<85>
 Podemos multiplicar 17} 18 30 por 6, multiplicando cada unidade por 6.
<R->

<F->
 17  18  30
             6
:::::::::::::::::::
102 108 180
<F+>

  Em seguida, escrevemos o resultado agrupando e reagrupando os valores de 60 em 60, comeando com os segundos.
<P>
  Transformamos 180 em 3, dividindo 180 por 60. 
  Adicionamos 3 a 108 e obtemos 111. 
  Decompomos 111 em 60 e 51. 
  Transformamos 60 em 1}, adicionamos 1} a 102} e obtemos 103}. 

 6.17} 18 30=103} 51 

  A medida do ngulo  103} 51. 

<R+>
 wr
  Um ngulo mede 82} 31 40. Quanto mede um ngulo cuja medida  um quarto da medida desse ngulo? 
<R->

  Calculamos #,d de 82} 31 40 dividindo essa medida por 4. 
  Efetuamos essa diviso calculando primeiro os graus do quociente. Em seguida, transformando o resto em minutos e, adicionando-o aos minutos do dividendo, calculamos os minutos do quociente e assim sucessivamente. 

 82 31 404

 824=20 resto 2
 260=120+31=151
 1514=37 resto 3
 360=180+40=220
 2204=55 resto 0

  A medida do ngulo  20} 37 55. 

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 32. Os ponteiros de um relgio formam um ngulo cuja medida  o quntuplo de 16} 17 48. Quanto mede o ngulo formado pelos ponteiros desse relgio?
<P>
 33. A soma da medida dos ngulos de um tringulo  180}. Se um dos ngulos mede 12} 39 e outro, o qudruplo de 13} 40 30, quanto mede o terceiro ngulo? 
 34. A soma das medidas de trs ngulos  150}. Um deles mede 29} 30 45 e o outro ngulo mede o dobro desse. Qual  a medida dos outros dois ngulos? 
 35. Qual  o quociente e o resto da diviso de 145} 12 36 por 12?
<86>
 36. A soma da medida de um giro com o dobro dessa mesma medida  135} 55 48. Quanto mede esse giro? 

 37. Calcule estes produtos e quocientes: 
 a) 38} 47 52.4 
 b) 16} 19 35.8
 c) 19} 34 46.7
 d) 145} 12 366 
 e) 100} 45 407
 f) 65} 1 305 

 38. Qual  o valor da expresso 70}-16} 28 302?

 39. Determine: 
 a) #,i de 98} 12 54 
 b) #:d de 62} 16 40 
 
 Unidades de tempo: uma unidade com agrupamentos de 60 em 60 
<R->

  Para exprimir um perodo curto, como a durao de um jogo de futebol, usamos como unidades horas, minutos e segundos. 
  Essas unidades de tempo se relacionam da mesma forma que as unidades de medidas de ngulos, graus, minutos e segundos: de 60 em 60. 
  Os smbolos usados para as unidades de tempo so diferentes daqueles que usamos para a medida de ngulos. 

 1 hora -- 1 h 
 1 minuto -- 1 min 
<P>
 1 segundo -- 1 s
 1 h =60 min e 1 min =60 s

<R+>
 wr
  Quantos minutos correspondem a 0,5 h? 
  Quantos minutos correspondem a um quarto de hora? 
  Quantos minutos correspondem a 3,5 horas? 
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 40. Em uma corrida da Frmula 1 o vencedor completou todo o percurso em 1 h 32 min 14 s. A quantos segundos corresponde esse tempo? 

 41. No campeonato brasileiro de futebol deste ano, o jogo da final comear s 16 h 30 min. Uma partida de futebol tem nor-
<P>
  malmente dois tempos de 45 minutos cada e um intervalo de 15 minutos entre esses dois tempos. 
 a) Se no houver nenhum contratempo, a que horas terminar o jogo? 
 b) Em caso de empate, os jogadores descansam 10 minutos at o comeo da prorrogao de 30 minutos, sem intervalo. Se isso acontecer, a que horas terminar a partida? 

 42. Carlos pretende levar trs CDs para ouvir durante uma viagem de 2 horas. A durao dos CDs  respectivamente: 41 min 18 s; 38 min 32 s e 32 min 45 s. Carlos conseguir ouvir integralmente os trs CDs durante a viagem? 

 43. Rosana tem um disco de DVD que permite at 2 horas de gravao. Ela j gravou nesse dis-
<P>
  co um documentrio com durao de 45 minutos. 
 a) Quanto tempo ela ainda tem para fazer novas gravaes nesse disco? 
 b) Ela poder gravar o captulo 13 da novela *Tudo acaba em pizza*, que comea s 20 h 30 min e termina s 21 h 25 min? Justifique sua resposta.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<87>
 5 -- Aprendendo mais sobre 
  ngulos 

 ngulos congruentes 

  Na entrada de um supermercado h duas esteiras rolantes. 
  A inclinao das rampas  dada pelos seguintes ngulos: 
<P>
<F->
                   
                    
     Ag              gX
                      
                       
                        
 Oo::::g:::   ::::g::::oP
         B         Y
<F+>

<R+>
 wr
  O que se pode concluir sobre as medidas de :?{a{oB* e :?{x{pY*?
<R->

  Usando um transferidor, verificamos que med :?{a{oB*=30} e med :?{x{pY*=30}. 
  Os ngulos :?{aoB* e :{x{pY* so ngulos congruentes. Indicamos: :?{aoB*==:?{x{pY*. 

<R+>
 Dois ngulos so congruentes quando tm medidas iguais.
<R->
<P>
 Retas perpendiculares 

  Observe as retas *r* e *s* dadas na figura.

<F->
          ls
          l
          l   O
      pcccpccc
      l_- l_- _
r-----v---v---#------ 
      l_- l_- _
      v---l---# r#.s
          l
          l
          l  
<F+>

<R+>
wr
  Essas retas so concorrentes? Justifique sua resposta.
  O que ocorre com os quatro ngulos formados por essas retas? Quanto mede cada um deles? 
<R->

  As retas *r* e *s* so concorrentes e formam quatro ngulos 
<P>
 congruentes. Cada ngulo mede 90}. 
  As retas *r* e *s* so retas perpendiculares. Indicamos: r#.s. 

<88>
 Traado de retas perpendiculares 

  Podemos traar retas perpendiculares a outra reta com o auxlio de dois esquadros ou um esquadro e uma rgua. 
  Acompanhe como desenhar uma reta perpendicular  reta *r* que passa pelo ponto M. 

_`[{a professora diz_`]
  "Apoie um dos esquadros sob a reta *r*, apoie o canto reto do outro esquadro no anterior, ajustando lado com lado, e mantenha-o fixo." 

<F->
        M
        o
r :::::::::::
<F+>
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "Desloque o esquadro superior sobre o esquadro fixo at o ponto M e trace a reta *p*." 

<F->
          l
          l
          rM
          l
          l
r ::::::::r::::::::o 
          l
          l
          l
          lp
<F+>

  A reta *p* passa por M e  perpendicular  *r*. Indicamos: p#.r. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 44 e 47, pea orientao ao professor_`]

 44. Mea estes ngulos e desenhe um ngulo congruente a cada um deles. 

 45. No paralelogramo {a{b{c{d, o ngulo B mede 65}. 

<F->
     A*ccccccccoD    
     *        *
   *        *
B}--------*C
<F+>

 Nesse paralelogramo:
 a) qual  o ngulo congruente a :B? 
 b) os ngulos :A e :C so congruentes? Por qu? 
<P>
 46. Nesta figura, :,?{oA*, :,?{oB*, :,?{oC* e :,?{oD* esto no mesmo plano. Sabe-se que :?{c{oD*  congruente a :?{c{oB* e que a medida de :?{c{oB*  igual a 48} 30. Qual  a medida de :?{a{oB*? 

<F->
              
     Bg       gC
            
           
          
::::o::::o::::o::::
    A    O    D
<F+>

 47. Desenhe uma reta *s* e marque um ponto A sobre ela, como nesta figura. Trace uma reta perpendicular a *s* e que passe pelo ponto A. 

<F->
:::::::::::::o:::: s
             A
<F+>

 48. O ngulo :?{b{oA*  um ngulo reto. A semirreta {o{m, na regio angular :?{b{oA*, forma com os lados de :?{b{oA* ngulos congruentes. Qual  a medida desses ngulos?

<F->
  l
  l      i
Bg     i
  l    gM
  l   i
  l  i
  l i
Oo::::::g:::
         A
<F+>

<89>
 49. Os pontos O, A, B, C, D, E e F esto no mesmo plano, e os ngulos :?{a{oB*, :?{b{oC*, :?{c{oD*, :?{d{oE*, :?{e{oF* e :?{f{oA* so congruentes. Qual  a medida de cada um deles? 
<P>
<F->
              
     Ag      gF
            
           
          
::::o::::o::::o::::
    B    O  E
           
            
     Cg      gD 
              
<F+>

 50. Ricardo desenhou um ngulo :?{a{oB* com 121}. Na regio angular :?{a{oB* ele traou uma semirreta {o{m, obtendo dois ngulos congruentes. Qual  a medida desses ngulos?

_`[{para as atividades 51, 52 e 53 pea orientao ao professor_`]

 51. Desenhe uma reta como esta _`[no adaptada_`]. Trace uma reta perpendicular a *t* e que passe pelo ponto G.
<P>
 52. Desenhe uma reta *c* e trace trs retas perpendiculares a ela. O que ocorre com as retas que voc traou?
 53. Identifique e anote os pares de reta que so perpendiculares.
<R->

 Bissetriz de um ngulo

  Beatriz desenhou, em uma folha de papel, um ngulo de 50} e recortou o desenho.

_`[{beatriz pensa_`]
  "Hum! O ngulo mede 50}."

_`[{a professora diz_`]
  "Faa uma dobra de modo que os lados do ngulo coincidam. Em seguida, desdobre o papel e observe a dobra que aparecer."
<P>
<R+>
 wr
  Quanto mede cada ngulo obtido com a dobra?
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Cada ngulo mede 25}."

_`[{figura no adaptada_`]

  Traando a semirreta {o{x sobre a dobra, na regio angular :?{b{oA*, vemos que os ngulos :?{b{oX* e :?{x{oA* so congruentes. 
  Dizemos que :,?{oX*  a bissetriz de :?{b{oA. 

<R+>
 Bissetriz de um ngulo  a semirreta que est na regio angular desse ngulo, com origem em seu vrtice e que forma com seus lados dois ngulos congruentes.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<90>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades 54, 55 e 59, pea orientao ao professor_`]

 54. O ngulo {m{a{n _`[no adaptado_`] mede 142}. E a semirreta {a{d  bissetriz de :?{m{aN*. Qual  a medida dos ngulos :?{m{aD* e :?{d{aN*?

 55. Utilize um transferidor e desenhe: 
 a) :?{a{oM*, com med :?{a{oM*=85}, e sua bissetriz; 
 b) :?{x{pY*, com med :?{x{pY=130}, e sua bissetriz. 
 c) Agora  a sua vez!
<R->
<P>
_`[{o professor diz_`]
  "Voc desenha um ngulo qualquer e seu colega traa a bissetriz."

<R+>
 56. Um ngulo mede 80}. Quanto mede cada um dos ngulos que a bissetriz forma com seus lados?
 57. A bissetriz de um ngulo {p{a{m determina dois ngulos de 36}. Qual  o valor de med :?{p{a{m*? 
 58. A bissetriz :,?{oC* do ngulo {a{o{b forma com o lado {a{o um ngulo de 22} 30. Qual  a medida do ngulo {a{o{b?
 
 59. Na figura _`[no adaptada_`] med :?{d{oA*=120} 38 40, :,?{oB*  bissetriz de :?{a{oC* e a medida de :?{d{oC*  o dobro da medida de :?{c{oB*. A letra *x* representa uma medida em graus. 
<P>
 a) Qual  o valor de *x*? 
 b) Qual  a medida de :?{c{oB*? 
 c) Qual  a medida de :?{d{oC*?
<R-> 

 Seo + (mais)

 Voc gosta de jogar sinuca? 

  Que tal experimentar uma sinuca diferente? 
  Esta mesa _`[no adaptada_`] tem apenas quatro caapas, e sua superfcie  um quadriculado de 8 por 6. 
  As regras tambm so diferentes:
<R+> 
  uma s bola em cada jogada; 
  incio da jogada sempre no mesmo canto; 
  as tacadas devem ser dadas sempre formando um ngulo de 45} com as bordas; 
<P>
  a bola bate em uma das bordas e segue seu movimento, formando ngulos de 45} com essas bordas. 

 Responda: 
 a) Comeando no canto 2, em que caapa a bola cair?
 b) Quantos quadrados a bola atravessar, antes de cair nessa caapa?
 c) Quantas vezes a bola bater nas bordas, antes de cair nessa caapa?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<91>
 6 -- Circuferncia e crculo

 Circunferncias

  Corpos redondos so slidos geomtricos que podem rolar. 
<P>
Observamos isso em vrios objetos que tm a forma arredondada. 

<R+>
_`[{figuras seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Frutos como laranjas e cocos lembram esferas e podem rolar.
 Legenda 2: A casquinha onde se coloca o sorvete lembra um cone e tambm pode rolar, dependendo da posio em que for colocada. 
 Legenda 3: Colocando toras de madeira debaixo dos barcos, conseguimos desloc-los com mais facilidade. As toras de madeira lembram cilindros.
<R->

  Com cortes especficos em laranjas e toras, podemos obter figuras circulares, que tambm aparecem nas bordas das casquinhas de sorvete. 

<R+>
_`[{figuras: circunferncia e crculo_`]
<R->

<92>
<P>
  Observe esta roda-gigante _`[no adaptada_`].

<R+>
 wr
  Que figura pode representar o trajeto de uma volta na roda-gigante? 
<R->

  A figura _`[no adaptada_`] mostra o trajeto de uma volta na roda-gigante. 
  Essa figura  uma curva fechada e O  o ponto de encontro de todas as hastes. A distncia do ponto O a uma cadeirinha qualquer  sempre a mesma. Na figura, vamos representar essa distncia pela letra *r*. 
  Uma curva desse tipo  chamada de circunferncia.

<R+>
 Circunferncia  uma linha fechada em um plano cujos pontos esto  mesma distncia de um ponto fixo desse plano. Esse ponto  o centro da circunferncia.
<R->
<P>
 Elementos de uma circunferncia 

  Na curva _`[no adaptada_`], todos os pontos esto a 2 cm de distncia do ponto O. Ela  uma circunferncia. 
  O ponto O  o centro dessa circunferncia, e os pontos A, B e C so pontos que pertencem a ela. 
  O segmento de reta {o{a  um raio dessa circunferncia. Os segmentos de reta {o{b e {o{c tambm so raios. 
  Essa  uma circunferncia com raios de 2 cm de medida. 
  O segmento de reta {a{b  uma corda dessa circunferncia. Os segmentos de reta :,?{bC* e :,?{aC* tambm so cordas. Toda corda que passa pelo centro da circunferncia  um dimetro. A corda :,?{aC*  um dimetro. 
  A medida de um dimetro  o dobro da medida de um raio.
  Em qualquer circunferncia:
<R+>
<P>
  raio  um segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto dessa circunferncia; 
  corda  um segmento de reta com extremidades em dois pontos dessa circunferncia;
  dimetro  uma corda que contm o centro dessa circunferncia.
<R->

<93>
 Traado de uma circunferncia 

  Um dos instrumentos que utilizamos para traar uma circunferncia com preciso  o compasso. Quando no h compasso, as pessoas usam outros recursos. No h muita preciso, mas  possvel traar circunferncias. 
  Observe como se usa um compasso para desenhar uma circunferncia: 

<R+>
_`[{fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Abrimos o compasso com abertura igual  medida do raio da circunferncia que vamos traar. 
<P>
 Legenda 2: Colocamos a ponta-seca do compasso sobre um ponto que ser o centro da circunferncia. 
 Legenda 3: Mantemos fixa a ponta-seca do compasso e giramos a outra ponta traando a circunferncia. 
<R->

  Vamos combinar que, quando aparecer neste livro a expresso "um raio", estaremos nos referindo a um segmento de reta. Quando voc ler "o raio", estaremos nos referindo  medida de todos os raios de uma circunferncia. 

 Crculos 

  Crculo  a figura formada por todos os pontos de uma circunferncia e pelos pontos dos planos dessa circunferncia cujas distncias ao centro sejam menores que o raio da circunferncia. 
<P>
  Na figura _`[no adaptada_`], temos um crculo de centro O e raio medindo 1,5 cm. 
  Observe os pontos destacados. 

<R+>
wr
  Quais dos pontos destacados pertencem ao crculo?
  Os pontos R, M, N pertencem ao crculo?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<94>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 60.Observe a figura _`[no adaptada_`] desenhada por Ana. Nela, a distncia de O a C  1,8 cm. 
 a) Qual  a distncia do ponto A ao ponto O? 
<P>
 b) Qual  a distncia do ponto B ao ponto O? 
 c) Os segmentos de reta ^c?{aO* e ^c?{bO* tm medidas iguais? Por qu?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 61. Quais so as maiores cordas de uma circunferncia? 
 62. Quanto mede o dimetro de uma circunferncia de 2 cm de raio? 

_`[{para as atividades de 63 a 65, pea orientao ao professor_`]

 63. Desenhe: 
 a) uma circunferncia com centro A de raio de 2,1 cm; 
 b) uma circunferncia com centro V de dimetro 5 cm. 
<P>
 64. Faa o que  pedido. 
 a) Desenhe uma circunferncia de centro O e raios medindo 1,3 cm. 
 b) Marque os pontos M, N e P no pertencentes ao crculo. 
 c) Marque os pontos X, Y, Z e T pertencentes ao crculo.

 65. Um raio deste crculo de centro O mede 2,5 cm. Observe os pontos destacados: 
 a) Quais esto a 2,5 cm de distncia do ponto O? 
 b) Quais esto a uma distncia menor que 2,5 cm do ponto O? 
 c) Quais esto a uma distncia maior que 2,5 cm do ponto O? 
 d) Identifique quatro pontos que pertencem a esse crculo. 

 66. Segundo dados da ONU, em nenhum lugar do mundo tantas rvores so derrubadas quanto na Amaznia. As toras so jogadas e muitas vezes esquecidas no 
<P>
  meio da mata -- o que  um desperdcio. Cada tora tem, em mdia, 1,20 m de dimetro. 
 a) Quanto mede, em mdia, um raio dessas toras? 
 b) Voc conseguiria abraar uma rvore com esse dimetro? 

 67. As bases dos cones e dos cilindros so crculos. Observe as medidas dos dimetros dessas bases, indicadas nas figuras a seguir, e calcule as medidas dos raios. 

_`[{dimetro do cone: 2,3 cm e dimetro do cilindro: 1,8 cm_`]

<95>
_`[{para as atividades 68 e 69, pea orientao ao professor_`]

 68. Esta circunferncia _`[no adaptada_`] tem o centro localizado no ponto P0,#j.
 a) Quais so as localizaes dos pontos B e D dessa circunferncia?
 b) Anote, indicando as extremidades, dois raios dessa circunferncia. 
 c) Qual  a medida, em centmetros, de um raio dessa circunferncia? E do dimetro?

 69. Copie em uma folha quadriculada esta figura _`[no adaptada_`]. Utilize rgua e compasso e: 
 a) desenhe um segmento de reta que tenha extremidades nos pontos M-1,#a e N2,#d; 
 b) desenhe uma circunferncia de centro C que passe pelo ponto M.
 c) O segmento de reta {m{n  uma corda dessa circunferncia?
 d) Localize as extremidades de um dos dimetros dessa circunferncia.
<R->

 Troque ideias e resolva
 
  Um jardineiro representou dois canteiros circulares: um com centro A e 1 m de raio e outro com centro B e 2 m de raio. Eles esto representados nesta figura _`[no adaptada_`]. 
<R+>
  Identifique dois pontos que esto a 2 m de B. 
  Quais dos pontos destacados esto a 1 m de A?
  Qual  a distncia do ponto C ao ponto R? E do ponto P ao ponto D?
  Quais pontos destacados esto ao mesmo tempo a 1 m de A e a 2 m de B?
<R->

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Seo + (mais)

 Construo com rgua e compasso 

  Utilizando rgua e compasso, reproduza o desenho ao lado seguindo o roteiro. 
<R+>
  Desenhe uma circunferncia com 2 cm de raio. 
  Marque um ponto qualquer nessa circunferncia. 
  Com a abertura do compasso igual a 2 cm, coloque a ponta-seca nesse ponto e marque um novo ponto na circunferncia. A partir desse novo ponto obtido, use o mesmo procedimento para marcar outro ponto. Faa isso at ter marcado seis pontos sobre a circunferncia. 
  Construa outras seis circunferncias tendo como centro os pontos marcados e mantendo o mesmo raio. 
  Use cores para finalizar seu desenho. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<96>
 Arco, ngulo central e setor 
  circular 

  Vamos conhecer outras figuras geomtricas relacionadas com circunferncias e crculos. 
  Desenhe uma circunferncia de centro P e raios de qualquer medida. 

<R+>
wr
  Marque os pontos M e N pertencentes  circunferncia. Em quantas partes os pontos M e N dividem essa circunferncia? 
<R->

  Os pontos M e N dividem essa circunferncia em duas partes. Cada uma delas  um arco dessa circunferncia. 
  O ngulo de vrtice P, cujos lados passam por dois pontos da circunferncia,  chamado de ngulo central. :?{m{pN*  um ngulo central.  
  A parte pintada de azul  o setor circular correspondente ao ngulo central :?{m{pN*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades de 70 a 75, pea orientao ao professor_`]

 70. Imagine que a circunferncia  _`[no adaptada_`] seja um caminho em volta de um jardim todo gramado. Uma pessoa est no ponto P e quer ir at o ponto Q sem pisar na grama. 
 a) Andando sobre a circunferncia, quantas maneiras h para fazer isso?
 b) Que figuras geomtricas formam esses caminhos? 

 71. Desenhe um setor circular correspondente ao ngulo central de 180}. 
<P>
 72. Escolha uma estimativa da medida de cada ngulo central _`[no adaptado_`]. 
 a) 40}, 90} ou 120} 
 b) 100}, 140} ou 40} 
 c) 5}, 45} ou 35}

 73. Determine a medida de cada ngulo central indicado nas figuras _`[no adaptadas_`].
 74. Desenhe uma circunferncia com centro B e nela um ngulo central de 75}. Destaque nessa circunferncia um de seus arcos. 
 75. Na circunferncia _`[no adaptada_`] os ngulos centrais so congruentes. Quanto mede cada um deles?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<97>
 7 -- Tratamento da informao

 Grfico de setores

  As informaes dos gastos mensais da famlia Ferreira esto representadas em um grfico de setores. 
  Esse grfico mostra um crculo dividido em partes e cada parte representa um porcentual. 

<R+>
_`[{grfico *Gastos mensais* adaptado em forma de tabela de duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: gastos
 2 coluna: porcentual

 !:::::::::::::::::::::
 l 1          _ 2   _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l Alimentao _ 34% _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l Aluguel     _ 31% _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l Vesturio   _ 6%  _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l Conduo    _ 7%  _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l gua e luz  _ 22% _
 h::::::::::::::j:::::::j
<P>
 wr
  Qual  a maior despesa da famlia Ferreira? 
  Essa despesa corresponde a quanto por cento dos gastos mensais?
<R->

  Esse grfico informa que a maior despesa da famlia  com alimentao. Ela corresponde a 34% da renda mensal dos Ferreira, seguida pelo aluguel, que representa 31% da renda familiar. 
  Veja outros exemplos em que crculos so utilizados para representar porcentagens. Em cada crculo, a parte pintada de verde corresponde a: 

<R+>
_`[{trs figuras adaptadas_`]
 1 -- crculo todo pintado de verde -- 100%.
 2 -- crculo com a metade pintada de verde -- 50%.
<P>
 3 -- crculo com um quarto dele pintado de verde -- 25%.
<R->

  No colgio em que Srgio estuda esto matriculados 800 alunos. 
  O grfico de setores a seguir representa a porcentagem de alunos matriculados, por ano.

<R+>
_`[{grfico *Matrculas do 6 ao 9 ano* adaptado em forma de tabela de duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Porcentagem
 !::::::::::::
 l 1 _ 2   _
 r:::::w:::::::w
 l 6 _ '''   _
 r:::::w:::::::w
 l 7 _ 30% _
 r:::::w:::::::w
 l 8 _ 15% _
 r:::::w:::::::w
 l 9 _ 10% _
 h:::::j:::::::j
<R->

<98>
<P>
<R+>
wr
  Qual  a porcentagem dos alunos matriculados no 6 ano? 
  Quantos alunos esto matriculados no 6 ano?
  Quantos alunos esto matriculados no 7 ano? E no 8 ano?
<R->
 
  O crculo representa o total de alunos e corresponde a 100%. 
  A soma de 30%+15%+10%, que  55%, corresponde  porcentagem dos alunos matriculados do 7 ao 9 ano.

 100%-55%=45%

  45% correspondem  porcentagem de alunos do 6 ano.

 45% de 800=0,45.#hjj=360

  Portanto, 360 alunos cursam o 6 ano nessa escola. 
<P>
 Fazer  e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 76. Escreva a porcentagem que completa 100%, em  cada caso: 

<F->
_`[{trs grficos adaptados em forma de tabela de duas colunas_`]
a) !::::::::::::::::
    l 1     _ 2   _
    r:::::::::w:::::::w
    l laranja _ 25% _
    r:::::::::w:::::::w
    l laranja _ 33% _
    r:::::::::w:::::::w
    l laranja _ 20% _
    r:::::::::w:::::::w
    l laranja _ '''   _
    h:::::::::j:::::::j
<P>
b) !:::::::::::::
    l 1  _ 2   _
    r::::::w:::::::w
    l azul _ 29% _
    r::::::w:::::::w
    l azul _ 10% _
    r::::::w:::::::w
    l azul _ 18% _
    r::::::w:::::::w
    l azul _ '''   _
    h::::::j:::::::j

c) !::::::::::::::
    l 1   _ 2   _
    r:::::::w:::::::w
    l lils _ 30% _
    r:::::::w:::::::w
    l lils _ 40% _
    r:::::::w:::::::w
    l lils _ '''   _
    r:::::::w:::::::wSo partes 
    l lils _ '''   _  iguais.
    h:::::::j:::::::j
<F+>
<P>
 77. O grfico indica, em porcentagens, os tipos de esporte praticados por um grupo de 160 rapazes. 

_`[{grfico *Esportes preferidos* adaptado em forma de tabela de duas colunas_`]
 1 coluna: esporte
 2 coluna: porcentagem

 !::::::::::::::::::
 l 1       _ 2   _
 r:::::::::::w:::::::w
 l Vlei    _ 35% _
 r:::::::::::w:::::::w
 l Futebol  _ 55% _
 r:::::::::::w:::::::w
 l Handebol _ 10% _
 h:::::::::::j:::::::j

 a) Quantos rapazes do grupo praticam futebol? 
 b) Quantos rapazes praticam vlei e handebol? 
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Junte-se a alguns colegas e procurem grficos de setores em revistas e jornais. 
<R+>
  Recortem as situaes que mais interessaram ao grupo e faam cartazes com esses recortes. 
  Inventem questes sobre os dados que esto nos recortes escolhidos e troquem-nas com outro grupo. 
  Respondam s questes que receberem do outro grupo. 
<R->

 Construo de grficos de setores 

  Em um grfico de setores, um crculo representa a totalidade do grupo pesquisado, ou seja, 100% dele. Os setores correspondem, proporcionalmente,  taxa percentual de cada dado.
  Com o auxlio de um transferidor e de uma rgua, traamos ngulos centrais correspondentes aos setores. 
  Acompanhe os clculos feitos para representar os dados desta tabela em um grfico de setores. 

<R+>
_`[{tabela *Distribuio da origem dos pais dos alunos do 7 ano do E.E.R.A.* adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Regio geogrfica
 2 coluna: Percentagem %

 !::::::::::::::::::::::
 l      1       _  2 _
 r::::::::::::::::w::::::w
 l Norte         _  13 _
 l Nordeste      _  50 _
 l Centro-Oeste _  4  _
 l Sudeste       _  22 _
 l Sul           _  11 _
 h::::::::::::::::j::::::j
<R->

  Para representar a porcentagem da regio Norte, por exemplo, desenhamos um ngulo central cujo setor circular corresponde a 13% do crculo _`[no adaptado_`].

<R+>
 13% de 360=0,13.#cfj=46,8 -- valor arredondado para 47
<R->

  Podemos obter esse resultado em uma calculadora, digitando as teclas:

<R+>
_`[{teclas_`]
 ponto; 13; ; 360; = ou 360  13 %  
<R->
 
  Para completar o crculo, calculamos as medidas dos ngulos centrais correspondentes s porcentagens relativas s outras regies: 

<R+>
 Regio Nordeste:
  50% de 360} -- 0,50.#cfj}=
  =180}
 Regio Centro-Oeste:
  4% de 360 -- 0,04.#cfj=
  =14,4}
 Regio Sudeste:
  22% de 360} -- 0,22.#cfj=
  =79,2}
<P>
 Regio Sul:
  11% de 360} -- 0,11.#cfj=
  =39,6}
<R->

 Arredondamento 

  Por questes prticas, trabalhamos com valores aproximados para as unidades simples de acordo com algumas regras de arredondamento: 
<R+>
  se o algarismo da ordem dos dcimos for igual a 5 ou maior que ele, arredondamos para o inteiro mais prximo. Exemplo: 46,8}  arredondado para 47}; 
  se o algarismo da ordem dos dcimos for menor que 5, arredondamos mantendo o inteiro. Exemplo: 14,4}  arredondado para 14}. 
<R->
  Para construir um grfico de setores _`[no adaptado_`], utilizamos um transferidor e uma rgua e traamos o ngulo central correspondente a cada percentual.
<P>
<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: regio
 2 coluna: porcentagem `(%`)
 3 coluna: medida do ngulo central (valores arredondados)

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l      1       _ 2 _ 3   _
 r::::::::::::::::w:::::w:::::::w
 l Norte         _ 13 _ 47  _
 l Nordeste      _ 50 _ 180 _
 l Centro-Oeste _ 4  _ 14  _
 l Sudeste       _ 22 _ 79  _
 l Sul           _ 11 _ 40  _
 h::::::::::::::::j:::::j:::::::j
<R->

<100>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 78 e 79, pea orientao ao professor_`]

 78. Os dados de uma pesquisa sobre o local da casa em que as pessoas costumam assistir  televiso foram apresentados nesta tabela. Faa um grfico de setores para represent-los. 

_`[{tabela *Local onde as pessoas costumam assistir  televiso* adaptado_`]

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Sala de visita    _ 36,2% _
 r::::::::::::::::::::w:::::::::w
 l Sala de jantar    _ 27,8% _
 r::::::::::::::::::::w:::::::::w
 l Cozinha           _ 20,9% _
 r::::::::::::::::::::w:::::::::w
 l Quarto            _ 14,4% _
 r::::::::::::::::::::w:::::::::w
 l No tm televiso _ 0,7%  _
 h::::::::::::::::::::j:::::::::j

 79. No Brasil, em 1989, quase 76% do lixo era coletado e jogado em depsitos a cu aberto, onde milhares de pessoas trabalhavam catando restos de alimentos e sucata. Em 2000, segundo a Pesquisa Nacional de Saneamento Bsico, a situao apresentou melhoras, como mostra o grfico de colunas a seguir.

_`[{grfico *Tratamento do lixo no Brasil (ano 2000)* adaptado; contedo a seguir_`]
 Aterros sanitrios -- 47,10%
 Lixes -- 30,50%
 Aterros controlados -- 22,30%

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, Acesso em 19 de novembro de 2008.

 a) Onde passou a ser depositada a maior porcentagem de lixo?
 b) Faa um grfico de setores representando o destino do lixo domstico.
<R-> 

 Usando a calculadora 

  Certa revista publicou os resultados de uma pesquisa sobre o gosto pela leitura entre os jovens de uma cidade. 
<P>
<R+>
  Copie a tabela em seu caderno. Depois, complete-a, utilizando a calculadora. A primeira linha serve de exemplo. 

_`[{tabela adaptada em trs coluna; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Categoria
 2 coluna: Nmero de jovens
 3 coluna: Medida do ngulo central (valores arredondados)

 Gosta muito -- 8 -- #"abj.360=24
 Gosta mais ou menos -- 26 -- '''
 Gosta pouco -- 53 -- '''
 No gosta -- 33 -- '''
 Total -- 120 -- '''

  Represente esses dados em um grfico de setores.
  Em qual dessas categorias voc se enquadraria?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<101>
 Leitura + (mais)

 A leitura dos cus

<R+>
 Quase tudo estava escrito nos cus. 
 O movimento da caa, a colheita, as rotas do deserto... 
 Quem soubesse ler as estrelas dominaria a Terra.

 Fonte: *Superinteressante*, abr. 1999. 
<R->

  Talvez por isso o estudo dos astros constitua uma das mais antigas atividades cientficas da humanidade. Caldeus, chineses, egpcios, gregos, maias e astecas foram os povos antigos que mais se dedicaram  Astronomia. 
  Na Astronomia, ngulo  uma figura bsica para o clculo de distncias consideradas inacessveis, para estudar a localizao de pontos no universo e para fazer mapeamentos celestes. 

<R+>
_`[{duas fotos descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Astrnomo usando um telescpio solar.
 Legenda 2: O telescpio espacial *Hubble* est operando desde 1990. Foi colocado fora da atmosfera terrestre, o que lhe permite captar imagens muito mais ntidas do Universo. 
<R->

 As vitrias-rgias e a forma 
  circular

  As vitrias-rgias, ou *uaps* ou *iapunaqueuaups*, como as chamam os indgenas da Amaznia, tm a forma de um crculo. 
  A magia e a imaginao dos nativos criaram uma lenda em torno dessa planta. 
  Segundo essa lenda, Naia, uma jovem indgena, apaixonou-se pela Lua. Tentou alcan-la muitas vezes, mas ela fugia sempre. Um dia, ao ver a Lua refletida nas guas de um riacho, Naia mergulhou nele. Nunca mais foi vista. 
  Com pena de Naia, Tup a transformou em um uap. As flores do uap s se abrem  noite para poder abraar a Lua.

<102>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+> 
 1. Uma companhia que distribui energia eltrica ir colocar luminrias em uma avenida com 18 km de extenso. A distncia entre elas ser de 400 m e a companhia vai colocar as luminrias no incio e no final da avenida. Quantas luminrias sero colocadas?
 2. Alberto precisava de 5,25 cm de fita de cetim para completar a moldura de um painel. Ana ofereceu 31 mm de fita que tinha. Com isso, Alberto poder terminar seu trabalho? 
<P>
 3. Em um campo de futebol, a marca do pnalti se encontra a uma distncia de 11 jardas da linha do gol. A jarda  uma unidade de comprimento que vale 91 cm. Calcule essas distncias em metros. 
 4. Observe as informaes nesta figura: 

<F->
              
     Bg       
             
            
     60  120
::::o::::o::::o::::
    A    O    C
<F+>

 Determine a medida do ngulo formado pelas bissetrizes de :?{a{oB* e :{b{oC*.

 5. Em um jogo, Pedro, Jlia e Daniela fizeram os seguintes pontos: 
<P>
_`[{tabela adaptada_`]
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l jogadores _ pontos _ pontos   _
l           _ ganhos _ perdidos _
r:::::::::::w::::::::w::::::::::w
l Pedro    _ 148   _ 85      _
r:::::::::::w::::::::w::::::::::w
l Jlia    _ 132   _ 150     _
r:::::::::::w::::::::w::::::::::w
l Daniela  _ 141   _ 141     _
h:::::::::::j::::::::j::::::::::j
<F+>

 a) Quem teve saldo negativo? 
 b) Qual foi esse saldo? 

 6. Na figura a seguir um raio da circunferncia de centro A mede 1,2 cm e um raio da circunferncia de centro B mede 0,8 cm. Elas tm em comum o ponto P. Qual  a medida de ^c?{aB*? 
<P>
_`[{figura: as circunferncias no foram adaptadas, apenas os raios_`]

 o::::o:::::::o
 B    P       A

 7. Um ngulo mede 67} 48 e 30. Quanto falta para chegar em 105} 32 6?
 8. Ao medir dois ngulos com um teodolito, um agrimensor obteve estas medidas: 120 e 5.680. Qual delas  a maior?
 9. Em certo dia do ms de junho, a temperatura em So Joaquim era de -2C e a registrada em Florianpolis, 8C. Qual a diferena entre as duas cidades nesse dia?
 10. Maria mora no dcimo sexto andar de um edifcio cuja garagem fica no segundo subsolo. Para chegar at o seu carro, quantos andares ela precisa descer?
<P>
 11. Este grfico informa o gasto em alimentao de uma famlia.

_`[{grfico: *Gasto com alimentao* adaptado_`]
 Um crculo dividido em oito partes iguais:
 duas partes na cor azul representam peixes e carnes;
 duas partes na cor verde representam verduras e legumes;
 trs partes na cor amarela representam massas e ovos;
 uma parte na cor rosa representa frutas.

 Se a famlia gasta R$600,00 em alimentao: 
 a) escreva a porcentagem de gasto com cada tipo de alimento. 
 b) calcule o gasto com cada tipo de alimento. 
<P>
 12. Qual  a medida do dimetro da base deste cilindro representado?

_`[{raio da base: 2,7 cm_`]

<103>
 13. Um relgio indica que faltam 20 min para as 6 horas. So:
 a) cinco horas e vinte minutos; 
 b) cinco horas e quarenta minutos; 
 c) seis horas e vinte minutos; 
 d) seis horas e trinta minutos.

 14. A bissetriz de um ngulo determina dois ngulos congruentes de 17 30. A medida desse ngulo ? 
 a) 30 
 b) 34 
 c) 35 
 d) 37 
<P>
_`[{para as atividades de 15 a 18, pea orientao ao professor_`]

 15. (Prova Brasil) Observe a figura _`[no adaptada_`]: 
 No esquema _`[no adaptado_`], esto localizados alguns pontos de uma cidade. A coordenada 5,G localiza: 
 a) a catedral; 
 b) a quadra poliesportiva; 
 c) o teatro; 
 d) o cinema. 

 16. (Encceja) Observe a figura _`[um cilindro_`]. Na fabricao de lpis, conforme o modelo, o fabricante utiliza-se de formas geomtricas. Ao apontarmos uma das extremidades, as formas geomtricas encontradas so: 
 a) cilindro, cone e crculo; 
 b) cilindro, pirmide e esfera; 
 c) prisma, pirmide e esfera; 
 g) prisma, cone e crculo. 
<P>
 17. Observe estes slidos:

_`[{figuras adaptadas_`]
 A: pirmide de base hexagonal
 B: cone
 C: pirmide de base quadrada
 F: Cilindro

 Quais deles tm bases circulares? 
 a) A e B.
 b) B e F.
 c) C e F. 
 d) B e C. 

 18. (Encceja) Observe o desenho _`[no adaptado_`]. Para voc completar o desenho do tringulo retngulo na malha quadriculada, partindo do ponto em que o lpis est desenhado e chegando ao ponto A, seria necessrio: 
 a) virar  direita at o ponto A; 
 b) virar  esquerda at o ponto A; 
 c) descer dois quadradinhos e virar  direita at o ponto A; 
<P>
 d) descer um quadradinho e virar  esquerda at o ponto A.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Terceira Parte